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    C語言浮點數的二進制表示

    時間:2018-11-24 21:49來源:我愛學習網 作者:布丁點兒 點擊:

      1.
      前幾天,我在讀一本C語言教材,有一道例題:
      #include <stdio.h>
      void main(void){
      int num=9; /* num是整型變量,設為9 */
      float* pFloat=&num; /* pFloat表示num的內存地址,但是設為浮點數 */
      printf("num的值為:%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */
      printf("*pFloat的值為:%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點值 */
      *pFloat=9.0; /* 將num的值改為浮點數 */
      printf("num的值為:%d\n",num); /* 顯示num的整型值 */
      printf("*pFloat的值為:%f\n",*pFloat); /* 顯示num的浮點值 */
      }
      運行結果如下:
      num的值為:9
      *pFloat的值為:0.000000
      num的值為:1091567616
      *pFloat的值為:9.000000
      我很驚訝,num和*pFloat在內存中明明是同一個數,為什么浮點數和整數的解讀結果會差別這么大?
      要理解這個結果,一定要搞懂浮點數在計算機內部的表示方法。我讀了一些資料,下面就是我的筆記。
      2.
      在討論浮點數之前,先看一下整數在計算機內部是怎樣表示的。
      int num=9;
      上面這條命令,聲明了一個整數變量,類型為int,值為9(二進制寫法為1001)。普通的32位計算機,用4個字節表示int變量,所以9就被保存為00000000 00000000 00000000 00001001,寫成16進制就是0x00000009。
      那么,我們的問題就簡化成:為什么0x00000009還原成浮點數,就成了0.000000?
      3.
      根據國際標準IEEE 754,任意一個二進制浮點數V可以表示成下面的形式:
      V = (-1)^s×M×2^E
     ?。?)(-1)^s表示符號位,當s=0,V為正數;當s=1,V為負數。
     ?。?)M表示有效數字,大于等于1,小于2。
     ?。?)2^E表示指數位。
      舉例來說,十進制的5.0,寫成二進制是101.0,相當于1.01×2^2。那么,按照上面V的格式,可以得出s=0,M=1.01,E=2。
      十進制的-5.0,寫成二進制是-101.0,相當于-1.01×2^2。那么,s=1,M=1.01,E=2。
      IEEE 754規定,對于32位的浮點數,最高的1位是符號位s,接著的8位是指數E,剩下的23位為有效數字M。

    浮點數的二進制表示 
      對于64位的浮點數,最高的1位是符號位S,接著的11位是指數E,剩下的52位為有效數字M。

    浮點數的二進制表示

      5.
      IEEE 754對有效數字M和指數E,還有一些特別規定。
      前面說過,1≤M<2,也就是說,M可以寫成1.xxxxxx的形式,其中xxxxxx表示小數部分。IEEE 754規定,在計算機內部保存M時,默認這個數的第一位總是1,因此可以被舍去,只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的時候,只保存01,等到讀取的時候,再把第一位的1加上去。這樣做的目的,是節省1位有效數字。以32位浮點數為例,留給M只有23位,將第一位的1舍去以后,等于可以保存24位有效數字。
      至于指數E,情況就比較復雜。
      首先,E為一個無符號整數(unsigned int)。這意味著,如果E為8位,它的取值范圍為0~255;如果E為11位,它的取值范圍為0~2047。但是,我們知道,科學計數法中的E是可以出現負數的,所以IEEE 754規定,E的真實值必須再減去一個中間數,對于8位的E,這個中間數是127;對于11位的E,這個中間數是1023。
      比如,2^10的E是10,所以保存成32位浮點數時,必須保存成10+127=137,即10001001。
      然后,指數E還可以再分成三種情況:
     ?。?)E不全為0或不全為1。這時,浮點數就采用上面的規則表示,即指數E的計算值減去127(或1023),得到真實值,再將有效數字M前加上第一位的1。
     ?。?)E全為0。這時,浮點數的指數E等于1-127(或者1-1023),有效數字M不再加上第一位的1,而是還原為0.xxxxxx的小數。這樣做是為了表示±0,以及接近于0的很小的數字。
     ?。?)E全為1。這時,如果有效數字M全為0,表示±無窮大(正負取決于符號位s);如果有效數字M不全為0,表示這個數不是一個數(NaN)。
      6.
      好了,關于浮點數的表示規則,就說到這里。
      下面,讓我們回到一開始的問題:為什么0x00000009還原成浮點數,就成了0.000000?
      首先,將0x00000009拆分,得到第一位符號位s=0,后面8位的指數E=00000000,最后23位的有效數字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
      由于指數E全為0,所以符合上一節的第二種情況。因此,浮點數V就寫成:
      V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)
      顯然,V是一個很小的接近于0的正數,所以用十進制小數表示就是0.000000。
      7.
      再看例題的第二部分。
      請問浮點數9.0,如何用二進制表示?還原成十進制又是多少?
      首先,浮點數9.0等于二進制的1001.0,即1.001×2^3。
      那么,第一位的符號位s=0,有效數字M等于001后面再加20個0,湊滿23位,指數E等于3+127=130,即10000010。
      所以,寫成二進制形式,應該是s+E+M,即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。這個32位的二進制數,還原成十進制,正是1091567616。

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